Peluang

Kombinasi

Kombinasi ialah menggabungkan beberapa objek dari suatu kumpulan tanpa memperhatikan urutannya.

Karena tidak memperhatikan urutan maka disinilah letak perbedaan antara kombinasi dan permutasi.

Pada kombinasi, susunan \(XY\) sama saja dengan susunan \(YX\), sedangkan pada permutasi susunan \(XY\) dan \(YX\) dianggap susunan yang berbeda.

Lambang notasi dari kombinasi ialah \(C\). Jika disebutkan \(n\) kombinasi \(r\), maka sanggup ditulis menjadi \(^nC_k\). Rumus kombinasi ialah sebagai berikut. \[^nC_k=\frac{n!}{k!(n-k)!}\] Notasi ! ialah faktorial, silahkan baca kembali artikel wacana Faktorial.

Untuk pemahaman lebih lanjut, berikut ini diberikan sebuah pola soal wacana kombinasi.

Sebuah perusahaan yang bergerak di bidang konstruksi mempunyai 4 orang andal statistik. Salah satu acara dari perusahaan tersebut ialah melaksanakan survei kualitas bangunan yang pernah dikerjakannya. Jumlah andal statistik yang diperlukan untuk acara survei ialah 2 orang. Berapa cara menentukan 2 dari empat 4 orang andal statistik yang dibutuhkan?

Jawab:

Banyaknya cara menentukan 2 orang dari 4 orang sanggup dihitung memakai rumus kombinasi. Pada soal di atas sanggup kita ketahui \(k=2\) dan \(n=4\). \[ \begin{aligned} ^nC_k&=^4C_2 \\ &=\frac{4!}{2!(4-2)!} \\ &=6 \end{aligned} \] Sehingga banyaknya pemilihan yang sanggup dilakukan ialah 6 cara.

Contoh Soal No. 1

Di sebuah sanggar tari terdapat 15 orang penari, yaitu 9 penari pria dan 6 penari perempuan. Sanggar tari tersebut menciptakan sebuah tari kreasi gres yang membutuhkan 5 penari pria dan 3 penari perempuan. Berapakah banyaknya cara yang sanggup diambil untuk menentukan komposisi penari yang ikut tari kreasi tersebut?

Jawab:

Dari soal tersebut sanggup kita ketahui bahwa \(n=15,\) \(n_1=9,\) \(n_2=6,\) \(k_1=5,\) \(k_2=3.\) Dengan memakai rumus kombinasi, maka kita sanggup menuntaskan permasalahan tersebut. \[ \begin{aligned} {^{n_1}C_{k_1}} \times {^{n_2}C_{k_2}} &= \frac{n_1!}{k_1!(n_1-k_1)!} \times \frac{n_2!}{k_2!(n_2-k_2)!} \\ &= \frac{9!}{5!(9-5)!} \times \frac{6!}{3!(6-3)!} \\ &= \frac{9!}{5!4!} \times \frac{6!}{3!3!} \\ &= \frac{6 \times 7 \times 8 \times 9}{1 \times 2 \times 3 \times 4} \times \frac{4 \times 5 \times 6}{1 \times 2 \times 3} \\ &= 126 \times 20\\ &= 2520 \end{aligned} \] Cara yang sanggup diambil untuk menentukan komposisi penari yang ikut tari kreasi 2520 cara.

Contoh Soal No. 2

Sebuah kotak berisi 3 bola putih, 4 bola merah, dan 5 bola biru. Tiga bola diambil secara acak dari dalam kotak tersebut. Hitunglah peluang bahwa

  1. Terpilih paling banyak satu bola berwarna putih,
  2. Masing-masing warna terwakili (1 bola putih, 1 bola merah, dan 1 bola biru),
  3. Jika bola diambil satu per satu tanpa pengembalian, tentukan peluang dimana bola terambil pertama ialah putih, kedua ialah merah, dan ketiga ialah biru!

Jawab:

Diketahui \(n=12,\) \(n_1=3,\) \(n_2=4\) dan \(n_3=5.\) Misalkan jumlah bola putih terpilih dinotasikan dengan \(x,\) jumlah bola merah terpilih dinotasikan dengan \(y\) dan jumlah bola biru terpilih dinotasikan dengan \(z.\)

Jawaban 2.1
Terpilih paling banyak satu bola berwarna putih artinya bola putih sanggup terpilih 1 atau tidak terpilih sama sekali (0). Dengan demikian peluangnya ialah \[ \begin{aligned} P(x\leq 1) &= P(x=0)+P(x=1) \\ &= \frac{ \left({^{n_1}C_0}\right) \left({^{n_2+n_3}C_3}\right)}{\left({^{n}C_3}\right)} + \frac {\left({^{n_1}C_1}\right) \left({^{n_2+n_3}C_2}\right)}{\left({^{n}C_3}\right)} \\ &= \frac{\left(^3C_0\right) \left(^9C_3\right)}{\left(^{12}C_3\right)} + \frac{\left(^3C_1\right) \left(^9C_2\right)}{\left(^{12}C_3\right)} \\ &= \frac{84}{220}+ \frac{108}{220} \\ &= 0,8727 \end{aligned} \] Jawaban 2.2
Jika masing-masing warna terwakili, maka peluangnya ialah \[ \begin{aligned} P(x=1,y=1,z=1) &= \frac{{^{n_1}C_1} {^{n_2}C_1} {^{n_3}C_1}}{^nC_3} \\ &= \frac{{^3C_1} {^4C_1} {^5C_1}}{^{12}C_3} \\ &= \frac{3 \times 4 \times 5}{220} \\ &= 0,2727 \end{aligned} \] Jawaban 2.3
Jumlah bola sebelum pengambilan ialah 12. Pada pengambilan pertama, peluang terambilnya bola putih ialah \[P(x) = \frac{n_1}{n} = \frac {3}{12}\] Bola yang tersisa dari hasil pengambilan pertama ialah 11, yaitu 2 bola putih, 4 bola merah dan 5 bola biru. Peluang terpilih bola merah pada pengambilan kedua ialah \[P(y|x) = \frac{n_2}{n-1} = \frac {4}{11}\] Selanjutnya bola yang tersisa ialah 10, yaitu 2 bola putih, 3 bola merah dan 5 bola biru. Peluang terpilih bola biru pada pengambilan ketiga ialah \[P(z|y|x) = \frac{n_3}{n-2} = \frac {5}{10}\] Dengan demikian peluang terambil bola pertama ialah putih, kedua ialah merah, dan yang ketiga ialah biru ialah \[ \begin{aligned} P(x=1,y=1,z=1) &= P(x) + P(y|x) + P(z|y|x) \\ &= \frac {4}{12} + \frac{3}{11}+\frac{5}{10} \\ &= 0,0455 \end{aligned} \]
Contoh Soal No. 3

Huruf A, I, U , E dan O akan disusun menjadi kelompok yang terdiri dari 3 huruf. Berapakah banyaknya kelompok yang mungkin terbentuk?

Jawab:

Dari 5 huruf, akan disusun kelompok yang terdiri dari 3 huruf. Banyaknya kelompok susunan yang mungkin terbentuk ialah 5 kombinasi 3. \[^5C_3 = \frac {5!}{{3!}{(5-3)!}} = \frac {5!}{2!} = 10\]
Contoh Soal No. 4

Sebanyak 20 klub sepak bola akan bertanding pada sebuah turnamen. Setiap klub akan bertemu satu sama lain dalam bertanding sebanyak 1 kali. Berapakah banyak pertandingan yang akan terjadi?

Jawab:

Pada soal disebutkan bahwa masing-masing klub akan bertemu satu sama lain sebanyak satu kali. Pada sebuah pertandingan sepak bola hanya ada 2 klub yang bertanding, artinya ada sebanyak \(^{20}C_2\) pertandingan yang akan terjadi.\[^{20}C_2 = \frac {20!}{{2!}{(20-2)!}} = \frac {19 \times 20}{2} = 190\]

Tags
Show More

Related Articles

Close